Расчет лестницы п образной: Расчет п образной лестницы

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

Расчет изготовления лестниц — Онлайн-Калькулятор

Мы настоятельно рекомендуем произвести замер помещения прежде, чем заказывать лестницу. Вы можете вызвать для замера нашего специалиста или самостоятельно произвести замер

Как сделать замер самостоятельно?

Производить замер лучше всего рулеткой с погрешность не более 2-х мм. Если есть возможность, пришлите нам фото помещения в нескольких основных ракурсах. 

Замеряя высоты, внимательно следите за тем, чтобы измерительные приборы располагались строго вертикально! Даже небольшое отклонение от вертикали может привести к получению неверных данных.

1 Измерьте длину и ширину проёма для лестницы

Проём — это отверстие в потолке, в которое вы входите, поднимаясь по лестнице, или свободное пространство над головой. Можно сказать, что проём — это проход на верхний этаж в межэтажном перекрытии. Чаще всего проём бывает прямоугольной формы, иногда круглой (в случае винтовых лестниц). Величина проема измеряется либо длиной и шириной, либо диаметром (если речь идёт о круглом проёме для винтовой лестницы).

Бывают случаи, когда лестница «подставляется» к перекрытию верхнего этажа (второй свет). В этом случае измерьте только длину проёма, ширина проёма не здесь ограничена.

У всех лестниц в нашем магазине указан параметр «минимальный проём». Это минимальная величина проёма, комфортная для данной лестницы. Проще говоря, размер проёма должен позволять идущему по лестнице не задевать головой потолок. Если ваш проём не меньше указанного минимального, то лестница вам подходит.

2 Измерьте высоту от пола нижнего этажа до пола верхнего этажа и высоту от пола до потолка

Здесь возможны 2 варианта:  

• Ваш пол ещё черновой и чистовым станет позже, когда будут уложены фанера и декоративное покрытие (например, паркетная доска). В таком случае мы рекомендуем при проведении замера учитывать уровень будущего чистового пола или сообщить нам об этом.
• Ваш пол уже чистовой . В этом случае просто зафиксируйте высоты, как показано на картинке ниже.

3 Определите площадь под лестницу на первом этаже

Как это сделать? Вы наверняка уже определили, в каком месте лестница должна начинаться и где должна заканчиваться, и можете обозначить площадь, отводимую под лестницу на нижнем этаже в конкретных цифрах. Не забудьте учесть, что лестница не должна мешать открытию двери или перекрывать окно. Так и определяется площадь, полезная для лестницы, или габариты в плане.

4 Учтите все возможные помехи

Это могут быть двери, окна, батареи, другие особенности помещения. Опишите все нюансы и, если есть возможность, пришлите фотографии в нескольких ракурсах. Если у вас возникли сложности или вопросы, связанные с замером, вы можете совершенно бесплатно проконсультироваться у нашего специалиста.

Пожалуйста, помогите решить проблему со словом ниже

Количество ступенчатых лестниц зависит от количества используемых блоков. Это потому, что без блоков нельзя построить лестницу.

Пусть x = количество блоков

Пусть y = количество ступенек

Создайте таблицу значений для отображения данных.

х | y

__________

1 1

3 2

6 3

Давайте посмотрим, есть ли у этих данных линейная зависимость.Мы делаем это, находя уклон. Уклон между точками 1 и 2 должен иметь уклон между точками 2 и 3.

Наклон _1-3 = (2 — 1) / (3 — 1)

= 1/2

Наклон _2–3 = (3–2) / (6–3)

= 1/3

Наклон не постоянный. Итак, мы знаем, что у нас не будет линейной зависимости.

Итак, теперь нам нужно написать систему линейных уравнений, чтобы найти одно уравнение.Уравнение, которое мы пытаемся получить, является квадратичной функцией. Функция будет иметь вид

у = ах ² + bx + с

, где a, b и c — константы. Мы подставляем значения x и y из таблицы, чтобы создать эти уравнения.

a + b + c = 1 уравнение 1

9a + 3b + c = 2 экв2

36a + 6b + c = 3 экв3

Заменить eq1 на eq2 и eq3.Получите эти уравнения в терминах a и b.

9a + 3b + (1 — a — b) = 2

8a + 2b = 1 новый eq2

36a + 6b + (1 — a — b) = 3

35a + 5b = 2 новый eq3

Затем умножьте новое уравнение 2 на 5 и умножьте новое уравнение 3 на 2.

40a + 10b = 5 новых eq2

70a + 10b = 4 новых eq3

Затем вычтите новое уравнение 3 из нового уравнения 2, чтобы исключить члены b.

-30a = 1

а = -1/30

Подставьте это значение a в новое уравнение 2, чтобы найти b.

8 (-1/30) + 2b = 1

(-8/30) + 2b = 1

-8 + 60b = 30

60b = 38

b = 19/30

Подставьте значения a и b в уравнение 1, чтобы найти c.

с = 1 — (-1/30) — (19/30)

с = 2/5

Формула, которую мы получаем, когда подключаем a, b и c, равна

y = (-1/30) x ² + (19/30) x + (2/5)

онлайн-курсов PDH. PDH для профессиональных инженеров. ПДХ Инжиниринг.

«Мне нравится широта ваших курсов по HVAC; не только экологичность или экономия энергии

курсов.»

Russell Bailey, P.E.

Нью-Йорк

«Он укрепил мои текущие знания и научил меня еще нескольким новым вещам

, чтобы познакомить меня с новыми источниками

информации.

Стивен Дедак, П.Е.

Нью-Джерси

«Материал получился очень информативным и организованным.Я многому научился и их было

очень быстро отвечает на вопросы.

Это было на высшем уровне. Будет использовать

снова. Спасибо. «

Blair Hayward, P.E.

Альберта, Канада

«Простой в использовании веб-сайт. Хорошо организованный. Я действительно буду снова пользоваться вашими услугами.

проеду по вашей компании

имя другим на работе.»

Roy Pfleiderer, P.E.

Нью-Йорк

«Справочные материалы были превосходными, и курс был очень информативным, особенно потому, что я думал, что я уже знаком.

с деталями Канзас

Авария City Hyatt «

Майкл Морган, P.E.

Техас

«Мне очень нравится ваша бизнес-модель.Мне нравится просматривать текст перед покупкой. Нашел класс

информативно и полезно

на моей работе »

Вильям Сенкевич, П.Е.

Флорида

«У вас большой выбор курсов, а статьи очень информативны. You

— лучшее, что я нашел ».

Рассел Смит, П.E.

Пенсильвания

«Я считаю, что такой подход позволяет работающему инженеру легко зарабатывать PDH, давая время на изучение

материал «

Jesus Sierra, P.E.

Калифорния

«Спасибо, что разрешили мне просмотреть неправильные ответы. На самом деле,

человек узнает больше

от сбоев.»

John Scondras, P.E.

Пенсильвания

«Курс составлен хорошо, и использование тематических исследований является эффективным.

способ обучения »

Джек Лундберг, P.E.

Висконсин

«Я очень впечатлен тем, как вы представляете курсы, т.е. позволяете

студент для ознакомления с курсом

материалов до оплаты и

получает викторину.»

Arvin Swanger, P.E.

Вирджиния

«Спасибо за то, что вы предложили все эти замечательные курсы. Я определенно выучил и

получил огромное удовольствие «

Mehdi Rahimi, P.E.

Нью-Йорк

«Я очень доволен предлагаемыми курсами, качеством материалов и простотой поиска.

на связи

курсов.»

Уильям Валериоти, P.E.

Техас

«Этот материал в значительной степени оправдал мои ожидания. По курсу было легко следовать. Фотографии в основном обеспечивали хорошее наглядное представление о

обсуждаемых тем »

Майкл Райан, P.E.

Пенсильвания

«Именно то, что я искал. Потребовался 1 балл по этике, и я нашел его здесь.»

Джеральд Нотт, П.Е.

Нью-Джерси

«Это был мой первый онлайн-опыт получения необходимых мне кредитов PDH. Это было

информативно, выгодно и экономично.

Я очень рекомендую

всем инженерам »

Джеймс Шурелл, П.Е.

Огайо

«Я понимаю, что вопросы относятся к« реальному миру »и имеют отношение к моей практике, и

не на основании какой-то непонятной секции

законов, которые не применяются

до «нормальная» практика.»

Марк Каноник, П.Е.

Нью-Йорк

«Отличный опыт! Я многому научился, чтобы перенести его на свой медицинский прибор

организация «

Иван Харлан, П.Е.

Теннесси

«Материалы курса имели хорошее содержание, не слишком математическое, с хорошим акцентом на практическое применение технологий».

Юджин Бойл, П.E.

Калифорния

«Это был очень приятный опыт. Тема была интересной и хорошо изложенной,

а онлайн-формат был очень

доступный и простой для

использовать. Большое спасибо ».

Патрисия Адамс, P.E.

Канзас

«Отличный способ добиться соответствия требованиям PE Continuing Education в рамках ограничений по времени лицензиата.»

Joseph Frissora, P.E.

Нью-Джерси

«Должен признаться, я действительно многому научился. Помогает иметь печатный тест во время

обзор текстового материала. Я

также оценил просмотр

фактических случаев «

Жаклин Брукс, П.Е.

Флорида

«Документ» Общие ошибки ADA при проектировании объектов «очень полезен.Модель

испытание потребовало исследований в

документ но ответы были

в наличии «

Гарольд Катлер, П.Е.

Массачусетс

«Я эффективно использовал свое время. Спасибо за широкий выбор вариантов

в транспортной инженерии, что мне нужно

для выполнения требований

Сертификат ВОМ.»

Джозеф Гилрой, П.Е.

Иллинойс

«Очень удобный и доступный способ заработать CEU для моих требований PG в Делавэре».

Ричард Роудс, P.E.

Мэриленд

«Я многому научился с защитным заземлением. Пока все курсы, которые я прошел, были отличными.

Надеюсь увидеть больше 40%

курсов со скидкой.»

Кристина Николас, П.Е.

Нью-Йорк

«Только что сдал экзамен по радиологическим стандартам и с нетерпением жду возможности сдать еще

курсов. Процесс прост, и

намного эффективнее, чем

вынуждены ехать «.

Деннис Мейер, P.E.

Айдахо

«Услуги, предоставляемые CEDengineering, очень полезны для профессионалов

Инженеры получат блоки PDH

в любое время.Очень удобно ».

Пол Абелла, P.E.

Аризона

«Пока все отлично! Поскольку я постоянно работаю матерью двоих детей, у меня мало

время исследовать где на

получить мои кредиты от «

Кристен Фаррелл, P.E.

Висконсин

«Это было очень познавательно и познавательно.Легко для понимания с иллюстрациями

и графики; определенно делает это

проще поглотить все

теорий. «

Victor Ocampo, P.Eng.

Альберта, Канада

«Хороший обзор принципов работы с полупроводниками. Мне понравилось пройти курс по

мой собственный темп во время моего утро

до метро

на работу.»

Клиффорд Гринблатт, П.Е.

Мэриленд

«Просто найти интересные курсы, скачать документы и взять

викторина. Я бы очень рекомендовал

вам на любой PE, требующий

CE единиц. «

Марк Хардкасл, П.Е.

Миссури

«Очень хороший выбор тем из многих областей техники.»

Randall Dreiling, P.E.

Миссури

«Я заново узнал то, что забыл. Я также рад оказать финансовую помощь

по ваш промо-адрес электронной почты который

сниженная цена

на 40% «

Конрадо Казем, П.E.

Теннесси

«Отличный курс по разумной цене. Воспользуюсь вашими услугами в будущем».

Charles Fleischer, P.E.

Нью-Йорк

«Это был хороший тест и фактически подтвердил, что я прочитал профессиональную этику

коды и Нью-Мексико

правил. «

Брун Гильберт, П.E.

Калифорния

«Мне очень понравились занятия. Они стоили потраченного времени и усилий».

Дэвид Рейнольдс, P.E.

Канзас

«Очень доволен качеством тестовых документов. Буду использовать CEDengineerng

при необходимости дополнительных

аттестат. «

Томас Каппеллин, П.E.

Иллинойс

«У меня истек срок действия курса, но вы все же выполнили свое обязательство и дали

мне то, за что я заплатил — много

оценено! «

Джефф Ханслик, P.E.

Оклахома

«CEDengineering предлагает удобные, экономичные и актуальные курсы»

для инженера »

Майк Зайдл, П.E.

Небраска

«Курс был по разумной цене, а материал был кратким и

в хорошем состоянии «

Glen Schwartz, P.E.

Нью-Джерси

«Вопросы подходили для уроков, а материал урока —

хороший справочный материал

для деревянного дизайна »

Брайан Адамс, П.E.

Миннесота

«Отлично, я смог получить полезные рекомендации по простому телефонному звонку.»

Роберт Велнер, P.E.

Нью-Йорк

«У меня был большой опыт работы в прибрежном строительстве — проектирование

Строительство курс и

очень рекомендую .»

Денис Солано, P.E.

Флорида

«Очень понятный, хорошо организованный веб-сайт. Материалы курса этики Нью-Джерси были очень хорошими

хорошо подготовлены. «

Юджин Брэкбилл, P.E.

Коннектикут

«Очень хороший опыт. Мне нравится возможность загружать учебные материалы на

обзор везде и

всякий раз, когда.»

Тим Чиддикс, P.E.

Колорадо

«Отлично! Сохраняю широкий выбор тем на выбор».

Уильям Бараттино, P.E.

Вирджиния

«Процесс прямой, без всякой ерунды. Хороший опыт».

Тайрон Бааш, П.E.

Иллинойс

«Вопросы на экзамене были зондирующими и продемонстрировали понимание

материала. Полная

, и комплексное ».

Майкл Тобин, P.E.

Аризона

«Это мой второй курс, и мне понравилось то, что мне предложили этот курс

поможет по телефону

работ.»

Рики Хефлин, П.Е.

Оклахома

«Очень быстро и легко ориентироваться. Я обязательно воспользуюсь этим сайтом снова».

Анджела Уотсон, П.Е.

Монтана

«Легко выполнить. Никакой путаницы при прохождении теста или записи сертификата».

Кеннет Пейдж, П.E.

Мэриленд

«Это был отличный источник информации о солнечном нагреве воды. Информативный

и отличное освежение ».

Luan Mane, P.E.

Conneticut

«Мне нравится подход к регистрации и возможность читать материалы в автономном режиме, а затем

вернитесь, чтобы пройти викторину «

Алекс Млсна, П.E.

Индиана

«Я оценил объем информации, предоставленной для класса. Я знаю

это вся информация, которую я могу

использование в реальных жизненных ситуациях »

Натали Дерингер, P.E.

Южная Дакота

«Обзорные материалы и образец теста были достаточно подробными, чтобы позволить мне

успешно завершено

курс.»

Ира Бродская, П.Е.

Нью-Джерси

«Веб-сайтом легко пользоваться, вы можете скачать материал для изучения, а потом вернуться

и пройдите викторину. Очень

удобный а на моем

собственный график «

Майкл Глэдд, P.E.

Грузия

«Спасибо за хорошие курсы на протяжении многих лет.»

Dennis Fundzak, P.E.

Огайо

«Очень легко зарегистрироваться, получить доступ к курсу, пройти тест и распечатать PDH

. Спасибо за изготовление

процесс простой. »

Fred Schaejbe, P.E.

Висконсин

«Опыт положительный.Быстро нашел курс, который соответствовал моим потребностям, и закончил

один час PDH в

один час «

Стив Торкильдсон, P.E.

Южная Каролина

«Мне понравилось загружать документы для проверки содержания

и пригодность, до

имея для оплаты

материал .»

Ричард Вимеленберг, P.E.

Мэриленд

«Это хорошее напоминание об ЭЭ для инженеров, не занимающихся электричеством».

Дуглас Стаффорд, П.Е.

Техас

«Всегда есть возможности для улучшения, но я ничего не могу придумать в вашем

процесс, требующий

улучшение.»

Thomas Stalcup, P.E.

Арканзас

«Мне очень нравится удобство участия в викторине онлайн и получение сразу

. «

Марлен Делани, П.Е.

Иллинойс

«Учебные модули CEDengineering — это очень удобный способ доступа к информации по номеру

многие различные технические зоны за пределами

по своей специализации без

надо ехать.»

Гектор Герреро, П.Е.

Грузия

Случайные переменные с согласованными по моментам функциями лестничной плотности

Appl Math Model. Авторская рукопись; доступно в PMC 2020 24 февраля.

Опубликован в окончательной отредактированной форме как:

PMCID: PMC7039250

NIHMSID: NIHMS1558465

Луис Г. Креспо

^a Dynamic Systems and Controls Branch, NASA Хэмптон, Вирджиния 23681, США

Шон П.Kenny

^a Dynamic Systems and Controls Branch, NASA Langley Research Center, Hampton, VA 23681, USA

Daniel P. Giesy

^a Dynamic Systems and Controls Branch, NASA Langley Research Center, Hampton, VA 23681, США

Брет К. Стэнфорд

^b Отделение аэроупругости, Исследовательский центр Лэнгли НАСА, Хэмптон, Вирджиния 23681, США

^a Отделение динамических систем и средств управления, Исследовательский центр НАСА в Лэнгли, Хэмптон, Вирджиния 23681, США

^b Отделение аэроупругости, NASA Langley Research Center, Hampton, VA 23681, USA

Abstract

В этой статье предлагается семейство случайных величин для моделирования неопределенности.Интересующие нас переменные имеют ограниченное опорное множество и заданные значения для первых четырех моментов. Мы представляем условия допустимости существования любой из таких переменных и предлагаем класс переменных, который соответствует таким ограничениям. Этот класс называется лестницей, потому что плотность его членов является кусочно-постоянной функцией. Выпуклая оптимизация используется для вычисления их распределений в соответствии с несколькими критериями оптимальности, включая максимальную энтропию и максимальное логарифмическое правдоподобие.Гибкость и эффективность лестниц позволяют моделировать явления, имеющие, возможно, перекос и / или многомодальный отклик при низких вычислительных затратах. Кроме того, мы предоставляем средства для учета неопределенности в распределении, вызванной оценкой лестниц по данным. Эти идеи иллюстрируются путем создания эмпирических моделей прогнозирования лестницы. Мы рассматриваем случай, в котором предсказатель точно соответствует моментам выборки (настройка, применимая к большим наборам данных), а также случай, когда предсказатель учитывает ошибку выборки в такие моменты (настройка, применимая к разреженным наборам данных).В качестве примера используется прогностическая модель динамики аэроупругого крылового профиля, подверженного флаттерной неустойчивости. Результирующий предсказатель не только точно описывает реакцию системы, но также позволяет проводить анализ рисков для безопасного полета.

1. Введение

Метамоделирование [1] — это процесс создания математической модели явления на основе заданных данных. Согласование прогнозов с наблюдениями путем корректировки гиперпараметров вычислительной модели — давний подход в байесовском выводе, оптимизации проектирования на основе надежности, алгоритмах согласования моментов и обратном распространении дисперсии [2–5].

В этой статье предлагается структура для характеристики одномерной случайной величины с учетом ограничений момента. Эти ограничения могут возникать из-за совпадения моментов выборки. В литературе доступно множество проблем моментов и приложений. Например, неравенства моментов используются для получения надежных оценок финансовых величин [6,7], баланса богатства и оптимизации портфеля [8]. В области науки принятия решений [9] границы моментов используются для динамического программирования, анализа решений с неполной информацией и байесовской статистики.

В частности, мы фокусируемся на переменных, имеющих конечное опорное множество и заданные значения для первых четырех моментов. Взаимозависимость требований, связанных с этим предписанием, определяет условия допустимости существования любой из таких переменных. Сначала мы изучаем это допустимое пространство, а затем выбираем конкретный класс переменных из, возможно, бесконечного множества, которые удовлетворяют ограничениям. Этот класс называется лестницей , потому что плотность его членов является кусочно-постоянной функцией на конечном наборе подинтервалов, разделяющих выбранный опорный набор.Лестницы позволяют описывать широкий спектр форм плотности, включая мультимодальные и / или сильно искаженные распределения. Однако, в отличие от стандартного спектра распределений, ступенчатая переменная не допускает алгебраического представления, а вместо этого определяется путем решения программы оптимизации.

Лестничные переменные могут быть сформированы в соответствии с одним из нескольких критериев оптимальности, включая максимальную энтропию, минимальный квадрат амплитуды, оптимальное соответствие цели и максимальное логарифмическое правдоподобие.Выпуклость обеспечивает существенные вычислительные преимущества, включая быстрое время вычислений и возможность решать проблемы с большим количеством проектных переменных и ограничений с использованием методов внутренней точки. Эта особенность делает их хорошо подходящими для многих практических приложений моделирования, требующих их многократных вычислений и моделирования, например, байесовской калибровки вычислительной модели, параметры которой представляют собой лестницы. Кроме того, мы разрабатываем метод, который позволяет учитывать ошибку выборки, которая возникает в результате оценки лестничного распределения на основе конечного набора наблюдений.В качестве примера используется моделирование и анализ рисков динамики аэроупругого профиля, подверженного флаттерной неустойчивости.

2. Предварительные сведения

Рассмотрим непрерывную случайную величину z с опорным набором Δ _z = [ z _min , z _max ] и функцию плотности fz: Δz⊂ℝ → ℝ +. Обозначим m _r r -й центральный момент z , который определяется как

mr = ∫Δz (z − μ) rfz (z) dz, r = 0,1,2,…

(1)

где μ — математическое ожидание z .Обратите внимание, что м ₀ = 1, м ₁ = 0, м ₂ — дисперсия, м ₃ — центральный момент третьего порядка и м ₄ — центральный момент четвертого порядка. В этой статье, когда делается ссылка на момент r -й случайной величины, мы предполагаем, что соответствующий интеграл в (1) сходится для этого распределения.

Интересующие случайные переменные имеют ограниченный набор опор и заданные значения для μ , m ₂ , m ₃ и m ₄ .Ограничение ограниченной опоры задается формулой Δ _z ⊆ Ω _z , где Ωz = [z_, z¯], с z¯≥z_. Моментные ограничения — это ограничения равенства в (1). Параметры этих ограничений будут сгруппированы в переменную θz∈ℝ6, заданную формулой

θz = [z_, z¯, μ, m2, m3, m4].

(2)

3. Выполнимость переменной, ограниченной

Набор достаточных условий для допустимости случайной величины z , удовлетворяющей ограничениям, связанным с θ _z , выведено из работы Шармы [10,11] и Кумара [12], определяется как ¹ g ( θ _z ) ≤ 0, где

g6 = m22 − m2 (μ − z_) 2 − m3 (μ − z_),

g7 = m3 (z¯ − μ) −m2 (z¯ − μ) 2 + m22,

g8 = 4m23 + m32 − m22 (z¯ − z_) 2,

g10 = −63m3− (z¯ − z_) 3,

g13 = (m4 − vm2 − um3) (v − m2) + (m3 − um2) 2,

для u = z¯ + z_ − 2μ и v = (μ − z _) (z¯ − μ).Условия выполнимости для переменных, поддерживаемых либо в Δz = ℝ, либо в Δz = ℝ +, имеющих моменты произвольного порядка, могут быть описаны как положительные полуопределенные ограничения [13,14]. Достаточные и необходимые условия выполнимости моментов с учетом конечного носителя, называемые проблемой моментов Хаусдорфа, задаются как набор бесконечного числа ограничений.

Допустимая область θ , Θ, определяется как

Θ = {θ: g (θ) ≤0}.

(3)

Можно показать, что множество невыпукло.показывает пересечения с некоторыми двумерными гиперплоскостями. Эти пересечения являются дополнением областей, выделенных синим цветом. Значение цветов будет объяснено в следующем разделе. Верхний левый, верхний правый и нижний левый участки соответствуют θ _z = [−1, 1, μ , m ₂ , 0.1, 0.2], θ _z = [−1, 1, 0,1, м ₂ , м ₃ , 0.2] и θ _z = [-1, 1, -0,2, 1/3, м ₃ , м ₄ ] соответственно. В этих трех случаях результирующие множества ограничены и имеют вершины на границах. Напротив, нижний правый график, который соответствует θz = [z_, z¯, 0,1,1 / 3, −0,15,0,2], дает неограниченное множество с гладкой границей.

Пересечение Θ с четырьмя двумерными гиперплоскостями (не синяя область) вместе с S (50) (желтая область) и S (100) (объединение областей желтого и оранжевого цветов).

4. Лестничные случайные величины

Может существовать бесконечно много случайных величин, реализующих точку в. Обратите внимание, что большинство стандартных семейств случайных величин могут реализовывать только подмножества меньшей размерности в Θ; Например, бета-случайная величина с четырьмя гиперпараметрами может представлять только точки, попадающие в точку пересечения Θ с 4-мерным многообразием. Семейства с шестью или более гиперпараметрами часто вносят ложные взаимозависимости между компонентами θ , которые они могут реализовать. = argminh {J (h): ∫z_z¯zfz (h) (z) dz = μ, ∫z_z¯ (z − μ) rfz (h) (z) dz = mr, r = 0,2 , 3,4},

(4)

где J — произвольная функция стоимости.Для простоты презентации мы отложим выбор J до следующего абзаца в этом разделе. Оптимизация в (4) невозможна для большинства стандартных семейств случайных величин по большей части Θ.

Сначала представлена ​​концепция лестничной функции (или ступенчатой ​​функции). Учитывая разбиение действительных чисел на конечное число интервалов, лестничная функция на этом разбиении является функцией, которая постоянна на каждом интервале. Использование этих функций нечувствительно к значению, которое функция принимает в конечной точке, разделяемой двумя соседними интервалами, поэтому мы не будем работать с этой точкой.Мы фокусируем наше внимание на семействе случайных величин, имеющих ступенчатую плотность, которые в дальнейшем будем называть ступенчатыми переменными. Кроме того, если мы ищем лестничную переменную, которая реализует параметры в θ _z , мы сначала выбираем положительное целое число n _b как количество интервалов в разделе. Затем мы потребуем, чтобы интервал [z_, z¯] был разбит на n _b подинтервалов равной длины κ = (z¯ − z _) / nb точками разделения zi = z _ + (i − 1 ) κ для 1 ≤ i ≤ n _b + 1.Тогда высота лестницы определяется выражением l∈ℝnb, где ℓ ≥ 0 и κ∑i = 1nbli = 1. потом

fz (h) (z) = {li∀z∈ (zi, zi + 1] для 1≤i≤nb, 0 в противном случае.

(5)

Затем мы применяем уравнение (4) к переменной лестницы В этой настройке гиперпараметр принимает вид h = [ θ _z , n _b ], где θ _z ∈ Θ. Результирующая переменная лестницы, будет обозначаться как

имеет функцию плотности, предписанную формулой.= argminl≥0 {J (l): A (θ, nb) l = b (θ), θ∈Θ}.

(8)

где A∈ℝ5 × nb и b∈ℝ5 задаются формулами

A = [κeκcκc2 + κ3 / 12κc3 + κ3c / 4κc4 + κ3c2 / 2 + κ5 / 80],

(9)

b = [1μμ2 + m2m3 + 3μm2 + μ3m4 + 4m2000 + 6m

(10)

где c∈ℝnb — центры бинов, c _i = ( z _i + z _{i +1} ) / 2 с 1 ≤ i ≤ n _b , c ⁿ — покомпонентная n -я степень от c , а e∈ℝnb — вектор единиц.

Далее изучаются несколько функций стоимости J in z ~ S _z ( θ _z , n _b , J ). Первая стоимость, которую мы рассматриваем, это

Дж (л) = — E (л) ≔κ log (л) ⊤l,

(11)

где E — дифференциальная энтропия. Принцип максимальной энтропии гласит, что распределение вероятностей, которое лучше всего представляет текущее состояние знаний с учетом некоторой априорной информации, имеет наибольшую энтропию.Другими словами, следует выбрать такое распределение, которое оставляет вам наибольшую оставшуюся неопределенность / энтропию информации, которая согласуется с ограничениями. Таким образом, в расчеты не вносятся никакие дополнительные предположения или ошибки. В контексте лестничных переменных априорной информацией является набор ограничений, связанных с θ _z . Следовательно, решение (8) для функции стоимости в (11) дает ступенчатую случайную величину максимальной энтропии.

Еще один класс функций стоимости:

Дж (l) = H (l, Q, f) ≔l⊤Ql + f⊤l,

(12)

где Q∈ℝnb × nb — положительная полуопределенная матрица, а f∈ℝnb. Эта структура превращает (7) в квадратичную программу. Например, используя J = H ( ℓ , I , 0) в (7), где I — единичная матрица, дает ступенчатую переменную, которая минимизирует квадрат суммы вероятностей на мусорные ведра. В качестве другого примера, если t∈ℝnb — это плотность целевой случайной величины при c , J = H ( ℓ , I , −2 t ), получаем ступенчатую переменную, которая минимизирует разность в квадрате между плотностями лестницы и мишени.Эта формулировка предоставляет средства для приведения переменной лестницы в соответствие с любой конкретной формой при соблюдении требуемых ограничений.

Другая функция стоимости — это (логарифм) вероятность данных в последовательности D = {z (j)} ,, для j = 1,… N . Когда наблюдения в последовательности независимы, мы имеем

Дж (l) = — L (l, D) ≔ − ω⊤ log (l),

(13)

где ω∈ℝnb задается формулой

ωi = ∑j = 1NI {z (j) ∈ [zi, zi + 1]},

а I — индикаторная функция.Лестничные переменные, основанные на (13), увеличивают вероятность данных. Лестницы максимального правдоподобия часто имеют PDF-файлы с большими перепадами между соседними ячейками. Способы сглаживания таких скачков приведены в Приложении.

Лестничные переменные с разными функциями стоимости для фиксированного гиперпараметра h показаны на. Компоненты θ представляют собой эмпирические оценки, полученные из ансамбля N = 1000 точек данных, взятых из механизма генерации данных (DGM) z = u ² — v ³ , где u и v — стандартная униформа.На этом рисунке показана лестница с максимальной энтропией, лестница с минимальным квадратом правдоподобия и лестница, соответствующая целям, основанная на эмпирической плотности. Переменная максимальной энтропии демонстрирует наиболее плавное изменение плотности, тогда как соответствие цели лучше всего соответствует DGM. Шум в плотности согласования цели, вызванный шумом в эмпирической плотности, может быть устранен с помощью методов сглаживания ядра. Лестница, которая максимизирует вероятность получения данных, изучается в Приложении.

Лестничные плотности для максимальной энтропии (синий), минимального квадрата правдоподобия (красный) и соответствия цели (зеленый) для n _b = 200.Плотность DGM показана черным цветом.

Лестницы, достигающие других критериев оптимальности, включая наибольшую / наименьшую вероятность данного события ² , максимальное / минимальное значение данного квантиля и интервалы прогнозирования наибольшей / наименьшей ширины, могут быть легко сформулированы. Каждая из этих пар задач дает диапазон значений, в котором должна падать интересующая метрика для всех других лестничных переменных, ограниченных θ . Меньшие диапазоны получаются при наложении дополнительных ограничений, таких как симметрия, унимодальность, выпуклость или гладкость.Вычисляя диапазон всех возможных значений, мы устраняем субъективность, возникающую в результате предположения о конкретном распределении.

Когда J является выпуклой функцией, программа оптимизации в формуле. (8) выпукло, поэтому имеет единственный минимум. Выпуклость обеспечивает существенные вычислительные преимущества, включая быстрое время вычислений, способность эффективно решать проблемы с большим количеством проектных переменных и ограничений (порядка сотен тысяч) и гарантию того, что численный поиск сходится к глобальному минимуму.Кодируя допустимый набор (8) с помощью вычислительно управляемого самосогласованного барьера, методы внутренней точки гарантируют, что количество итераций, необходимых для схождения к оптимуму, ограничено полиномом по размерности и точности решения [17]. показывает зависимость процессорного времени, необходимого для вычисления лестничной переменной, от количества ячеек. Эти расчеты были выполнены на стандартном настольном компьютере с использованием имеющегося в продаже программного обеспечения. Назначение случайной величины влечет за собой установку иерархии из бесконечного числа моментов.В случае лестниц первые четыре момента задаются ограничениями, тогда как все остальные моменты задаются функцией стоимости. Следовательно, изменения в J могут отображать переменные со значительно отличающимися моментами более высокого порядка, таким образом, формами.

Время ЦП в зависимости от количества бункеров.

Доступны различные подходы к оценке плотности, включая ядерную оценку плотности [18] и ряд методов кластеризации данных [19]. Однако, в отличие от этих подходов, лестницы не стремятся представить плотность как комбинацию функций ядра.Это устраняет сложности, возникающие в результате предположения о неподходящей основе, практики, которая часто приводит к плохо обусловленным программам оптимизации, плотностям с ложными шаблонами и вероятностным хвостам, выходящим за пределы намеченного диапазона, например, представляя однородную переменную как смесь гауссиан. Вместо этого предлагаемая формулировка ищет крайние элементы ячейки вероятности согласования моментов с использованием выпуклой оптимизации. Лестничные переменные максимальной энтропии хорошо подходят для наборов данных небольшого размера, тогда как лестничные переменные максимального (логарифмического) правдоподобия лучше подходят для наборов данных среднего и большого размера.Это результат того, что эмпирические моменты сходятся к своим истинным значениям быстрее, чем лестничная плотность сходится к истинной плотности. Плотность переменных максимального правдоподобия, соответствующих различным наборам данных, имеющих одинаковое небольшое количество наблюдений, будет значительно различаться. В этом случае случайность выборки, а не лежащее в основе распределение DGM, формирует результирующую переменную. Это наблюдение применимо ко всем переменным максимального правдоподобия независимо от их структуры, т.е.э., подъезд или нет.

5. Выполнимость лестницы

Предполагаемое значение для n _b может сделать (8) недопустимым. Этот раздел формализует это понятие. Возможная область лестничной клетки определяется как ³

S (nb) = {θ∈Θ: ∃l≥0 | A (θ, nb) l = b (θ)}.

Следовательно, набор S (nb) состоит из всех реализаций θ , для которых существует ступенчатая переменная, имеющая n _b интервалов.Сделаем несколько замечаний относительно возможности лестницы. Обратите внимание, что осуществимость θ не подразумевает выполнимость лестницы, то есть θ∉S (nb), даже если θ ∈ Θ. Далее отметим, что выбранная стоимость Дж не влияет на осуществимость.

Определение принадлежности θ к S (nb) требует оценки выполнимости A ( θ , n _b ) ℓ = b ( 9017 ) для ℓ ≥ 0.в формуле. (8) и определение того, является ли сходящееся решение допустимым минимумом. Этот подход является вычислительно жизнеспособным благодаря выпуклости программы оптимизации.

Теперь мы вернемся к численному сравнению S с. Цвета в нем показывают пересечения S (50) (область желтого цвета) и S (100) (объединение областей желтого и оранжевого цветов) с двумерными плоскостями в четырехмерном евклидовом пространстве. Эти цифры были получены путем вычисления ступенчатой ​​переменной, соответствующей соответствующему значению θ в каждой точке точной сетки, а затем оценки сходимости алгоритма оптимизации.Точки, где алгоритм сходится к допустимому оптимуму, являются членами S, тогда как точки, где алгоритм расходится, нет. Расширение S в результате увеличения n _b окрашено в оранжевый цвет. Приращения n _b быстро уменьшают смещение между Θ и S (nb). Это смещение происходит около границы во всех случаях. Это было видно во всех проведенных численных экспериментах. Обратите внимание, что геометрия области невозможности лестницы, попадающей в Θ (например,g., область красного цвета, соответствующая n _b = 100), зависит от границы набора. Например, верхний левый график показывает, что увеличение n _b только расширило набор переменных, которые возможны по лестнице над нелинейной границей. В то время как большая часть Θ также находится в S (100), это не относится к большинству стандартных семейств случайных величин, например, 4-параметрическая бета-версия с поддержкой Δ _z может реализовывать только ограниченные комбинации μ , м ₂ , м ₃ и м ₄ , а представимые значения момента зависят от значений, принимаемых другими моментами.На нижнем правом графике видно, что в обеих возможных лестницах есть отверстия и шипы, похожие на сосульки. Эти особенности, вызванные изменениями ширины интервалов в результате изменения Ω, исчезают, когда используется фиксированное количество интервалов на единицу длины, ρ , т. Е. Nb = ⌈ρ (z¯ − z_ ) ⌉. Средства для поиска переменной лестницы, которая близко приближается к невыполнимой лестнице h , доступны в [20].

6. Оценка лестницы

Предположим, что образцы z ^(1), …, z ^{( N )} нарисованы независимо от фиксированной, но в остальном неизвестной DGM.Этот раздел посвящен оценке гиперпараметра h = [ θ _z , n _b ] лестничной переменной S _z заданных данных. Следует использовать мнение экспертов, чтобы прописать к опоре n _b и границу Ω _z . Тогда как Ω _z должно ⁴ содержать Δ˙ = [min {z (j)}, max {z (j)}], моменты μ , м ₂ , м ₃ и м ₄ могут быть выбраны в качестве моментов выборки μ˙, мÀ2, мÀ3 и мÀ4.= 1 − elog (β) / (N − 1),

(15)

и β — параметр достоверности. См. Доказательство в Приложении. Уравнение (14) является формально проверяемым, не имеющим распределения и неасимптотическим результатом, применимым к любой стационарной DGM. Теория оптимизации сценария утверждает, что уравнение. (14) выполняется с вероятностью больше 1 — β , где β можно сделать очень маленьким, так что он теряет какое-либо практическое значение. Эта вероятность является ключом к получению гарантированных результатов, не зависящих от DGM.При определении подходящей переменной лестницы, уравнение. (14) эквивалентно

где, q _i — доля интервала ( z _i , z _{i +1} ], выходящего за пределы Δ˙. Это ограничение обеспечивает соответствие переменной лестницы к (14)

Теперь мы сосредоточимся на ошибке, возникающей при использовании моментов выборки в θ . Эта ошибка, предписываемая соответствующими распределениями выборки, может быть количественно оценена с использованием методов бутстрэппинга или теории центрального предела.Этот последний подход приводит к нормальным выборочным распределениям:

м2 ~ Нм2 (м˙2, м˙4 − m˙22N),

м3 ~ Нм3 (м˙3, м˙6 − m˙32−6m˙4m˙2 + 9m˙23N),

m4 ~ Nm4 (m˙4, m˙8 − m˙42−8m˙5m˙3 + 16m˙2m˙32N),

условно от θ ∈ Θ, где m˙k — момент отсчета порядка k . Эти выражения соответствуют произвольно распределенной переменной z для достаточно большого значения N [22]. Для небольших значений N методы начальной загрузки часто дают более точное приближение.Чтобы учесть ошибку выборки при оценке лестничной переменной, ограничения согласования моментов в (8) заменены ограничениями полиномиального неравенства

где μ ( ℓ ) = r ₂ ℓ , m ₂ ( ℓ ) = r ₃ ℓ — μ () ² , м ₃ ( ℓ ) = r ₄ ℓ — μ ( ℓ ) ³ — 3 μ ( ℓ ) м ( ℓ ) м ₂ ( ℓ ) и м ₄ ( ℓ ) = r ₅ ℓ — 4 μ ( ℓ ) м ₃ ( ℓ ) — 6 μ ( ℓ ) ² m ₂ ( ℓ ) — μ ( ℓ ) ⁴ — моменты лестницы, r _i — это вектор-строка i для A в (9), а границы момента соответствуют контуру 1- α интервалы достоверности выборочного распределения.Например, μ˙ − 1,96 м˙2 / N≤μ (l) ≤μ˙ + 1,96 м2 / N для 95% доверительного интервала. Обратите внимание, что ящик моментов, определяемый формулами (17) — (20), может не полностью содержаться в Θ.

Следовательно, влияние ошибки выборки учитывается путем решения для лестницы с учетом ограничений неравенства (14) и (17) — (20). Обратите внимание, однако, что результирующая переменная не будет учитывать способ, которым распределение выборки распределяет вероятность в пределах выбранного блока моментов. Это соображение можно учесть, используя стоимость

Дж (l) = — E (l) −log {L (l)},

(21)

где L = Nμ (l) Nm2 (l) Nm3 (l) Nm4 (l) — функция правдоподобия выборочного распределения для независимых моментов.

В заключение, лестничные переменные обеспечивают (i) способность представлять широкий диапазон форм плотности, (ii) способность представлять большую часть возможного пространства Θ, (iii) структуру для учета ошибки выборки, присутствующей во время их оценка на основе данных и (iv) низкие вычислительные затраты, необходимые для эффективного выполнения многих задач количественной оценки неопределенности. Эта стоимость относится как к вычислению функции плотности, так и к моделированию результирующей переменной лестницы.

7. Примеры

Лестничные переменные используются ниже для создания эмпирических моделей прогнозирования. С этой целью мы предполагаем, что N независимых и одинаково распределенных пар ввода-вывода получены из механизма генерации данных (DGM), и обозначим D = {x (i), y (i)}, i = 1,… N, соответствующая последовательность данных. Например, при модальном анализе гибкой конструкции вход x представляет собой частоту возбуждения, тогда как выходной сигнал y представляет собой соответствующую амплитуду отклика в конкретном местоположении датчика.Случайные изменения свойств материала, граничных условий и шума измерений делают вывод y случайным.

Интересующие нас модели называются Модель лестничного предсказателя (SPM), потому что они характеризуют выход для любого заданного входа как лестничную переменную. Представленные ниже SPM основаны на данных. Таким образом, они не требуют каких-либо предположений относительно способа распределения данных в D. SPM требуют задания зависимых от входа функций θ

θy (x) = [y_ (x), y¯ (x), μy (x), m2, y (x), m3, y (x), m4, y (x)],

(22 )

в диапазоне ввода X .Обратите внимание, что θ _{y ( x )} является функциональным расширением θ _z в уравнении. (2). В приведенных ниже примерах используется методика задания целевых функций θ _{y ( x )} согласно D, предложенная в [23].

Пример 1: Проверка модели . В этом примере мы генерируем SPM для DGM, о котором мы знаем все. Как и в методе изготовленных решений, проверка модели выполняется путем сравнения полученных предсказаний модели с истинным моделируемым явлением.

С этой целью мы рассматриваем DGM, показанный в верхней части. Вероятность попадания между любой парой соседних строк — 0,01. Обратите внимание, что распределение, включая его поддержку, расположение и количество режимов, сильно зависит от входных данных. Последовательность данных ⁵ с N = 1000 наблюдений была взята из DGM. показывает функции, соответствующие DGM (сплошные линии) вместе с целевыми функциями θ _{y ( x )} (пунктирные линии), извлеченные из данных.Обратите внимание, что целевые функции достаточно хорошо аппроксимируют функции DGM, несмотря на использование только 1000 наблюдений.

DGM (вверху), SPM с согласованием момента максимальной энтропии (второй), SPM, ограничивающий момент максимальной энтропии (третий), и SPM с минимальным (21) моментом (внизу).

Δ _z и моменты для DGM (сплошные линии) и цели (пунктирные линии).

Целевые функции θ _{y ( x )} затем были использованы для построения SPM с согласованием момента S _{y ( x )} ( θ _{y ( x )} , 500, E ).Энтропия этого предсказателя Ex [E] = — 0,3642. показывает этот SPM на втором подзаголовке. Эта цифра была получена путем вычисления лестничных переменных по единой сетке входных значений в X , их выборки и группировки точек, принадлежащих одной и той же процентильной линии. Моментные функции, достигаемые SPM, неотличимы от целей. Сравнение между DGM и SPM показывает отличное согласие, измеренное квадратом разницы между парами соответствующих процентилей.Обратите внимание, что SPM хорошо описывает бимодальную структуру DGM, реплицируя области, в которых вероятность сильно сконцентрирована, то есть области на верхнем и нижнем пределе опоры, где группируются многие процентильные линии. Кроме того, асимметрия вероятностной массы внутри набора опор соответствует тем же образцам, что и в DGM. Вся эта информация неявно встроена в θ _{y ( x )} . Сравнение этого SPM с альтернативными методами моделирования доступно в ссылке [23].

Затем мы оцениваем влияние ошибки выборки в предписании θ _{y ( x )} . Чтобы количественно оценить разреженность набора данных, мы определяем эквивалентное количество наблюдений, n _e , как

где 0 ≤ w ≤ 1 — весовая функция, использованная в [23]. Ошибка выборки в моментных оценках будет количественно определена с использованием разработок Раздела 6 для N = n _e ( x ).Для этой последовательности данных значение n _e находится в диапазоне от 47,15 до 112. Это указывает на то, что набор данных разрежен. показывает 95% доверительные интервалы ошибки выборки для четырех функций моментов в виде заштрихованных областей. Обратите внимание, что интервальные функции значительно осциллируют, достигая наибольшего разброса около x = 0.

Моменты SPM с ограниченным моментом на основе (11) (сплошная линия), SPM с ограниченным моментом на основе (21) ( пунктирная линия) и соответствующие границы (заштрихованные области).

Затем мы вычисляем SPM с максимальной энтропией, моментные функции которого могут принимать любое значение в пределах этих интервальных функций. Следовательно, каждая ступенчатая переменная, составляющая SPM, будет максимизировать энтропию, удовлетворяя при этом ограничению распространения (14), наряду с ограничениями блока моментов (17–20). Мы будем называть этот предсказатель ограниченным моментом SPM . Моменты, достигаемые этим SPM, показаны сплошными линиями на рис. Первые три момента различаются внутри своих интервалов, тогда как четвертый момент остается на нижней границе.Ослабление ограничений согласования момента до ограничений, ограниченных моментом, увеличивает ожидаемую энтропию с Ex [E] = -0,3642 до Ex [E] = 0,7484. Результирующий SPM показан на третьем подзаголовке. Обратите внимание на то, что наиболее характерные черты случайного процесса, такие как пики на границах набора опор и узоры линий внутри него, потускнели. Кроме того, обратите внимание, что разрывы производной в функциях моментов приводят к разрывам производной в линиях процентилей при соответствующих входных значениях.Такие разрывы могут быть устранены с помощью сглаживания ядра [25] или с помощью другой функции стоимости.

Последний подход рассматривается далее. В частности, мы рассчитаем SPM с ограниченным моментом, имеющий функцию стоимости в формуле. (21). Используя эту стоимость, результирующие лестничные переменные учитывают способ, которым распределение выборки распределяет вероятность в пределах блока моментов. Моментные функции, соответствующие этому SPM, показаны пунктирными линиями в. В отличие от других SPM, ограниченных моментом, новые моменты имеют непрерывные производные в пределах X .Результирующий SPM, показанный внизу, показывает плавные линии процентилей. Это достигается за счет небольшого уменьшения энтропии с Ex [E] = 0,7484 до Ex [E] = 0,7300. По мере увеличения n _e ширина доверительных интервалов уменьшается, и SPM с ограничением момента сходятся к SPM согласования момента. Когда значение n _e достаточно велико, набор данных больше не будет разреженным, и аналитик может предпочесть использование сопоставления целей или лестницы максимального логарифмического правдоподобия.

Пример 2: Анализ флаттера . Далее мы исследуем устойчивость профиля со степенями свободы по тангажу и врезанию, подверженного нестационарным аэроупругим воздействиям [26]. Флаттер, нелинейный отклик, вызванный бифуркацией Хопфа в динамике системы, может возникнуть при увеличении скорости свободного потока. При этом энергия потока передается на аэродинамический профиль, вызывая самоподдерживающиеся колебания, которые потенциально могут привести к потере контроля и повреждению конструкции. Скорость воздушного потока, при которой это происходит, называемая скоростью флаттера, является сложной функцией инерционных, геометрических, материальных и аэродинамических свойств и, как известно, очень чувствительна к неопределенностям [27].Физическая модель, действующая как DGM, представлена ​​в приложении. Эта модель, абстрактная версия гибкой трехмерной модели крыла с динамикой изгиба и кручения [26], обычно используется для анализа систем управления реальных самолетов с неподвижным крылом.

Динамический отклик на конкретную скорость воздушного потока x (т.е., вывод в контексте этой статьи). Неотрицательные значения y обозначают нестабильный ответ, тогда как отрицательные значения соответствуют стабильному ответу. Изменчивость параметров системы делает и случайным процессом. Мы не только хотим определить вероятность нестабильности как функцию скорости воздушного потока, P [ y ( x )> 0], но также то, как возникает нестабильность. Нестабильности, для которых y положительны, но не слишком велики (поэтому время для амплитуды реакции на удвоение достаточно велико), можно смягчить, используя систему управления полетом или уменьшив скорость, тогда как нестабильности, для которых y положительный, и большой размер может не восстановиться.

Как и в предыдущем примере, SPM будет использоваться для характеристики отклика системы на заданные данные. С этой целью последовательность данных D = {x (i), y (i)} для i = 1,… 14000 была получена путем моделирования модели в приложении A.3 ⁶ . показывает данные. Обратите внимание, что диапазон и распределение данных сильно зависит от скорости воздушного потока x . Диапазон варьируется от практически нулевого спреда при низких значениях x до значительных спредов при высоких значениях x .Кроме того, обратите внимание, что переход от стабильности к нестабильности происходит в диапазоне x ∈ [1,93, 2,71], так что P [ y (1.93)> 0] = 0 и P [ y (2. 71)> 0] = 1.

Данные (×), привязанные к опорному набору (линии).

Последовательность данных затем использовалась для оценки целевых функций в уравнении. (22). показывает границы диапазона данных, тогда как показывает целевые моментные функции и соответствующие им интервалы ошибок выборки.Обратите внимание, что ошибка выборки незначительна, когда x <3, и становится больше, когда увеличивается x . Функция момента третьего порядка показывает, что асимметрия распределения значительно меняется, принимая нулевые, положительные и отрицательные значения. Поскольку плотности неопределенностей, предписывающих случайный отклик, симметричны, асимметрия отклика вызвана исключительно лежащей в основе динамикой. Затем цели использовались для расчета лестничного предсказателя согласования моментов.показывает двухпроцентильные кривые полученного SPM.

Целевые функции (пунктирные линии) и их диапазоны ошибок выборки (заштрихованные области).

2-процентили SPM S _{y ( x )} ( θ _{y ( x )} , 250, E ).

Обратите внимание, что эта модель точно отражает основные характеристики данных, включая диапазон, зависящий от ввода, и вариации асимметрии. Следует отметить, что большая изменчивость, наблюдаемая в отклике системы, вызвана небольшими параметрическими неопределенностями менее 5% (см. Приложение).

Для сравнения были сгенерированы модель гетероскедастического гауссовского процесса (GP) и модель гауссовой смеси (GM) на основе одной и той же последовательности данных D. Соответствующие 2-процентили показаны на. Обратите внимание, что модель GP не может описать практически детерминированный отклик около x = 0, и что прогноз в области, где происходит переход к нестабильности, то есть 2 < x <3, существенно отличается от данных. Что еще более важно, неспособность модели давать негауссовские ответы часто делает полученные прогнозы неприемлемыми.В контексте этого примера это подразумевает получение ложного прогноза вероятности нестабильности во всем входном диапазоне. Модель GM ⁷ справа обеспечивает лучшее представление данных. Количество компонентов модели, а также границы ковариационных матриц были настроены таким образом, чтобы предотвратить получение негладкого предиктора с плохо обусловленными ковариационными матрицами. Несмотря на то, что модель GM достаточно хорошо описывает данные, предсказанное распределение в x <2 имеет слишком большую дисперсию, и несколько ложных паттернов встречаются внутри распределения, например.g., см. паразитные колебания большинства процентилей около x = 4,6. Модели GM сталкиваются с проблемами при описании плотностей, изменяющихся почти линейно в зависимости от входных данных, плотностей с разрывами, например, однородной случайной величины и DGM в Примере 1, и плотностей с небольшими отклонениями. Для описания этих характеристик требуется большое количество компонентов с небольшими ковариационными матрицами, что делает предсказатель негладким, а соответствующую оптимизацию — плохо обусловленной. Сравнение моделей в данных и относительно данных показывает, что SPM — лучший выбор для моделирования.SPM не только описывает распределение данных более точно, чем две альтернативы, но также избегает значительного объема настройки, необходимой для них.

Гетероскедастическая модель GP (слева) и модель GM (справа).

Затем SPM будет использоваться для оценки вероятности нестабильности в зависимости от воздушной скорости, а также серьезности такой нестабильности, т. Е. Степени сложности, необходимой для возврата самолета в устойчивый режим. Чтобы формализовать это понятие, рассмотрим метрику

λ (x) ≔∫0y¯ (x) y (x) fy (x) (y) dy.

(23)

При λ = 0 вероятность нестабильности равна нулю. Когда λ> 0, доля нестабильных ответов вносит вклад в λ пропорционально значению y . Обратите внимание, что λ может быть непропорционально вероятности нестабильности; например, отклик с вероятностью нестабильности 0,1 и длинным верхним хвостом может достичь большего значения λ, чем отклик с вероятностью нестабильности, равной единице. показывает вероятность нестабильности P [ y > 0] и λ как функции воздушной скорости.Допустимый диапазон скоростей воздушного потока при нулевой вероятности нестабильности составляет x ∈ [0, 1.93]. Если набор ответов, для которых λ <0,1 считается безопасным / восстанавливаемым, допустимыми становятся воздушные скорости ниже x = 2,3. Обратите внимание, что вероятность нестабильности достигает 0,62 в этом диапазоне. Таким образом, диапазон скоростей воздушного потока расширен на 20% за счет увеличения допустимого значения λ от нуля, что соответствует нулевой вероятности нестабильности флаттера, до 0.1.

Показатели нестабильности как функция воздушной скорости.

Вышеупомянутый прогнозирующий алгоритм лестницы сыграл важную роль в точном определении безопасной дальности полета с учетом серьезности нестабильности.

8. Выводы

В этой статье предлагаются лестничные переменные согласования моментов для моделирования неопределенности. Эти переменные имеют ограниченное опорное множество и заданные значения для первых четырех моментов. Мы предлагаем структуру выпуклой оптимизации для расчета их распределений по одному из нескольких критериев оптимальности.Эти критерии включают максимальную энтропию, минимальный квадрат амплитуды, оптимальное соответствие цели и максимальное логарифмическое правдоподобие. Выпуклость обеспечивает существенные вычислительные преимущества, включая быстрое время вычислений и возможность решения практически гладких плотностей вероятностей с использованием методов внутренней точки. Эта особенность делает лестницы подходящими для многих практических приложений, требующих их многократного расчета и моделирования, например, байесовской калибровки вычислительной модели, параметрами которой являются лестницы.Кроме того, лестницы позволяют моделировать явления, имеющие возможный перекос и / или многомодальный отклик, изменяющийся в ограниченном диапазоне.

Моделирование случайного процесса, поддерживающий набор и распределение которого сильно зависит от входной переменной, как в обоих примерах в статье, часто является сложной задачей. Гауссовские модели процессов, наиболее широко используемый метод непараметрического метамоделирования, не могут точно описать многие явления из-за их внутренней структуры. Модели гауссовой смеси лучше подходят для моделирования сложных откликов.Однако они сталкиваются с проблемами, когда основная плотность изменяется (почти) линейно с вводом, когда она имеет разрывы или когда она имеет небольшие отклонения. Модели прогнозирующих лестниц не страдают такими недостатками и не требуют значительного объема настройки, требуемого такими моделями. Эта настройка требуется не только для задания структуры модели и ее параметров из множества доступных опций, но и для того, чтобы численный поиск оптимума невыпуклой программы не попал в локальный минимум.

Кроме того, мы предлагаем стратегию оценки плотности лестницы с учетом данных. Этот подход ищет лестницу, моменты которой могут принимать любое значение в пределах интервалов прогнозирования оценок момента. Эффективность и гибкость лестничных переменных демонстрируется путем создания эмпирических моделей прогнозирования для двух примеров приложений. Полученные в результате лестничные предикторы не только точно описывают сложные реакции основных явлений во всем входном диапазоне, но также играют важную роль в выполнении совместного анализа рисков и неопределенностей для безопасного полета.Дальнейшая работа будет сосредоточена на дальнейшем ограничении переменных лестницы, чтобы соображения унимодальности, симметрии, гладкости и связности могли быть реализованы в рамках структуры выпуклого программирования.

Приложение A

A1. Затухание скачка

Плотность лестничных переменных максимального правдоподобия может иметь большие скачки между соседними интервалами. Несмотря на то, что гибкость лестничной переменной позволяет достичь вероятностей, которые намного превышают те, которые достигаются переменными из других семейств, поэтому они лучше описывают данные, можно было бы уменьшить такие скачки.Этого можно достичь, дополнительно наложив (7) выпуклым ограничением

где ν > 0 обратно пропорционально желаемому уровню гладкости, а C∈ℝnb × nb удовлетворяет

C = [1−1−12−10−12−1⋱⋱⋱0−12−1−11] ≽0.

(25)

Ограничение в (24) ограничивает сумму квадратов разности правдоподобия в соседних ячейках. Вверху отображается переменная максимального правдоподобия, соответствующая N = 500 наблюдениям, полученным из DGM в.Плотности для DGM и максимальная энтропия накладываются друг на друга. Скачки являются результатом больших различий в количестве наблюдений, попадающих в соседние интервалы. Внизу показаны лестничные переменные, которые являются результатом решения (8) со стоимостью (13) и ограничением (24) для нескольких значений ν . Обратите внимание, что параметр ν управляет степенью гладкости результирующей плотности. Переменная максимального правдоподобия вверху получается, когда ν велико.

Неограниченные (вверху) и ограниченные лестницы максимального правдоподобия (внизу).

A2. Оценка вероятности

Доказательство уравнения (14) выглядит следующим образом. Самый узкий интервал, содержащий образцы, Δ˙, является решением выпуклой программы min _{a , b} { b — a : a ≤ z ^{( j )} , b ≥ z ^{( j )} , j = 1,… N }.= argmaxϵ {ϵ: (1 − ϵ) N + Nϵ (1 − ϵ) N − 1≤β},

оптимальная формула. (15).

A3. Динамическая модель для анализа флаттера

Уравнения флаттера упруго установленного крылового профиля [26] имеют следующий вид:

[mmbxθmbxθI] [h¨θ¨] + [kh00kθ] [hθ] = [- Lb (a + 1/2) L + M],

(26)

где h — врезание, θ — тангаж, м, — масса профиля, I — момент инерции, b — полухорда профиля, k _h — жесткость при врезании, k _θ — жесткость по тангажу, L — аэродинамическая подъемная сила и M — аэродинамический момент тангажа.Безразмерные параметры a и e определяют эквивалентное расположение соединения погружной пружины и центра масс, соответственно, x _θ = e — a .

Нестационарные аэродинамические нагрузки обычно моделируются как

L = CLαρUbC (k) (h˙ + Uθ + b (1/2 − a) θ˙) + πρb2 (h¨ + Uθ˙ − abθ¨),

(27)

M = −πρb3 ( h¨ / 2 + Uθ˙ + b (1/8 − a / 2) θ¨),

(28)

где C _Lα — наклон подъемной силы относительно угла атаки, ρ — плотность потока, U — скорость потока, а C ( k ) — функция Теодорсена [ 29] записано в терминах приведенной частоты к .Нестационарные аэродинамические эффекты часто моделируются с помощью функции Теодорсена, которая представляет собой комплексную функцию пониженной частоты, предназначенную для учета как амплитудного затухания, так и фазового запаздывания нестационарных воздушных нагрузок. Эта функция делает динамику в уравнениях. (26) — (28) нелинейные. Для решения этого уравнения предполагается решение следующего вида:

где p определяется как p = g + k i , k — вышеупомянутая приведенная частота, и g — параметр демпфирования, а i — мнимая единица.Объединение (26) — (29) приводит к:

[(U2 / b2) Mp2 + K + qA (p)] x¯ = 0

(30)

где q = ρU ² /2 — динамическое давление, M и K — структурные матрицы из (26), а остальные члены собраны в A , комплексная аэродинамическая матрица, которая является высоконелинейной функцией p как из-за производных по времени от h и θ , которые приводят к p и p ² членов, но также из-за зависимости функции Теодорсена от мнимой части p .

Результирующее нелинейное уравнение собственных значений может быть решено путем выбора начального предположения для каждой пары собственных значений ( p, , (p, x¯)) и повторения до сходимости, процесса, широко известного как метод pk [30] . В качестве альтернативы уравнение. (30) можно преобразовать в более крупное линейное уравнение на собственные значения, используя приближение рациональной функции:

A (p) ≈A0 + A1p + A2p2 + ∑j = 3nAjpp + γj − 2

(31)

где γ _j — корни аэродинамического запаздывания, помещенные на стратегически пониженную частоту k значений.Поскольку A является известной функцией k i , члены A _j могут быть вычислены с помощью наименьших квадратов вдоль мнимой оси.

Ar (k i) + iAi (k i) ≈A0 + A1 k i − A2k2 + ∑j = 3nAjk ik i + γj − 2

(32)

Аэродинамические состояния x _a обозначаются как:

Комбинация уравнений. (30), (31) и (33) приводят к модели линейного изменения параметров (LPV) в U :

(pS1 + S2) {xpxxa1 ⋮ xan} = 0,

(34)

куда

S1 = [I00 ⋯ 00U2b2M + qA20 ⋯ 000I ⋯ 0 ⋮⋮⋮ ⋱ ⋮ 000 ⋯ I],

S2 = [0 − I0 ⋯ 0K + qA0qA1qA3 ⋯ qAn + 20 − Iγ1I ⋯ 0 ⋮⋮⋮ ⋱ ⋮ 0 −I0 ⋯ γnI].

Такой подход называется приближением Роджера [31] или p-методом.

Эту модель можно записать в шести безразмерных величинах: a , e , μ = m / ( πρb ² ), r = I / (mb2), σ = ω _h / ω _θ и C _Lα , где собственные частоты определены как ωh = kh / m и ωθ = kθ / I.Номинальные значения для этих параметров: a = −0,2, e = −0,1, μ = 20, r = 0,42, σ = 0,4 и C _Lα = 2 π . Кроме того, безразмерная скорость потока определяется как V = U / b / ω _θ . При наличии модели LPV в (34) стабильность системы задается способом, которым соответствующие собственные значения изменяются в зависимости от V .В приведенном выше примере мы предполагаем, что x = V и y — это максимальная действительная часть собственных значений погружения, шага и запаздывания. Кроме того, предполагается, что реакция модели носит случайный характер, поскольку параметры a и e изменяются равномерно в пределах 5% от их номинального значения.

Сноски

¹ Векторные неравенства выполняются покомпонентно.

² Полуопределенная оптимизация может использоваться для вычисления жестких границ P [ a ≤ z ≤ b ], когда Δz = ℝ или Δz = ℝ + для произвольных распределений, имеющих моменты произвольного порядка [14 ].Разработки в [15,16] позволяют учитывать дополнительные структурные свойства, такие как симметрия, унимодальность, выпуклость и гладкость.

³ Последующие разработки применимы независимо от того, учитывается ли ограничение в (24) или нет. Однако для простоты изложения мы предполагаем последний случай.

⁴ Выборочные оценки будут обозначены верхним индексом.

⁵ Последовательность данных и числовая установка, использованные здесь, также использовались в примере ссылки [24].Дополнительные подробности можно найти там.

⁶ Создание реалистичной вычислительной модели DGM является предполагаемой настройкой приложения для предлагаемых методов. Основная причина этого заключается в том, что «реальные данные» часто очень дороги или их невозможно получить (например, прогнозирование характеристик конструкции в условиях невесомости). Изучение влияния неопределенности на прогнозы, полученные на основе вычислительных моделей, является предметом первостепенной важности при оценке их производительности, безопасности и надежности.

⁷ Эта модель была получена путем сначала характеризации совместной плотности входа и выхода, а затем вычисления условной плотности выхода для сетки входов. Эта модель была рассчитана с использованием алгоритма максимизации ожидания с 200 компонентами.

Ссылки